Живописец, пейзажист, график, сценограф, педагог.

Получил первые уроки живописи в Валаамском монастыре. В 1893-1896 учился в Рисовальной школе Общества поощрения художеств, в 1896–1898 — в школе княгини Марии Тенишевой, в классе Ильи Репина, и в 1898–1904 — в его же мастерской в Императорской Академии художеств. В ту пору Вещилов был, по воспоминаниям современников, любимым учеником Репина и близким другом его сына, Юрия. Илья Ефимович пророчил молодому художнику большое будущее и наставлял его на путь исторического живописца-монументалиста. Дипломная работа Константина Вещилова «Иоанн Грозный после казанских побед» (1904) была высоко оценена Советом Академии художеств, а сам автор получил звание художника и право на пенсионерскую поездку заграницу. Помимо ИАХ, он успешно окончил Императорский Археологический институт в 1908 году: в тот период художник часто писал полотна на исторические темы.

В 1904 за картину «Иоанн Грозный после казанских побед» получил звание художника и право пенсионерской поездки за границу. С 1904 (до 1917) - постоянный экспонент Общества русских акварелистов, с 1911 - его член. В 1905-1906 как пенсионер Общества поощрения художеств жил в Италии и Франции. В 1905 за картину «Прощеное воскресенье на Руси в XVIII столетии» получил премию А.И. Куинджи, в 1908 - премию Общества поощрения художеств за картину «Степан Разин на Волге». В 1908 окончил Археологический институт. В 1912 совершил путешествие в Египет и Палестину, где работал над этюдами к картине «Цезарь и Клеопатра», а также Италию и Францию. С 1912 состоял художником в Морском министерстве. С 1910 занимался сценографией, оформил пьесу А.С. Суворина «Царь Дмитрий Самозванец и царевна Ксения» для театра Литературно-художественного общества. В 1913 исполнил эскизы костюмов и декораций к операм «Богема» Дж. Пуччини и «Кармен» Ж. Бизе для театра Музыкальной драмы. С 1914 заведовал декорационной частью Суворинского театра. С 1914 (до 1918) экспонировал свои работы на выставках
TIXB, участвовал в выставках Товарищества художников и Общества Куинджи. В 1916 избран академиком Академии художеств. В 1919 принял участие в Первой Государственной свободной выставке произведений искусств в Петрограде. В 1920 исполнил зарисовки участников II Конгресса Коминтерна. В 1922 эмигрировал во Францию, жил в Париже. В 1927 и 1928 прошли персональные выставки художника в галерее «Шарпантье». В 1927 экспонировал свои работы на «Выставке театрально-декорационного искусства 1917-1927» в Ленинграде. В 1928-1930 работал художником-лекоратором и режиссером в Русском театре Д. Кировой. С 1933 - член правления секции художников при Союзе деятелей русского искусства во Франции. Участник многих групповых выставок русского искусства за рубежом, в том числе в 1930 - в Белграде, в 1931 и 1932 в Париже. В середине 1930-х переехал в США, организовал персональную выставку в галерее – «Метрополитен» в Нью-Йорке.

Произведения К.А. Вещилова находятся во многих музейных и частных собраниях, в том числе в коллекциях Государственной Третьяковской галерее, Государственного Русского музея, музее Метрополитен (Нью-Йорк, США).